深度学习基本概念

前言

这是一份我的学习记录,本文知识点来源于【实验楼】网站的课程使用 Python 实现深度神经网络,在此整理笔记。

一个简单的例子理解机器学习的过程

  • 计算圆的面积
# 代码片段 2
def learn(model,data):

    ... # 通过数据data训练模型model的代码

    return model # 已经训练好参数的模型

def test(model,x):

    ... # 将x输入模型model中得出结果y的代码

    return y # 返回计算结果--圆的面积

trained_model=learn(init_model,data) # 通过训练得到模型trained_model
y=test(trained_model,x=100) # 得到半径为100的圆的面积

简单解释

  • learn() 函数的具体实现暂且不提, 它的作用是,会使用通过数据 data 训练模型 model ,当我们需要计算一个新的圆的面积时,就调用 test 函数,根据训练好的模型去计算其面积。
  • 这里先把 learn() 视作黑盒子,我们不需要事先知道输入和输出之间的关系,也不需要手动设置任何参数,只要把数据 “喂给” 学习算法 learn , 它就会自动得出一个能够解决问题的模型。
  • 在训练过程中,模型 model 其实是 “学习” 到了输入和输出之前的关系以及相关的参数。就像是一个数学家通过对圆的观察,得出了圆的面积和半径的关系,并且求出了圆周率

这就引出机器学习的基本部分

  • 用来解决问题的模型model
  • 学习数据(或者说训练数据)data
  • 让模型model通过数据data学会解决特定问题的学习算法learn
  • 用来纠正模型的test方法

学习算法的几个基本概念

回归问题与分类问题

  • 回归(regression): 例如机器学会计算圆形面积的例子属于回归问题。即我们的目的是对于一个输入 x,预测其输出值 y,且这个 y 值是根据 x 连续变化的值。
  • 分类(classification): 事先给定若干个类别,对于一个输入 x,判断其属于哪个类别,即输出一般是离散的。比如图片英文字母识别。

有监督学习与无监督学习

  • 有监督学习,即在训练过程中,输入x得出y,而这个y的正确答案也事先准备好,用来纠正模型。
  • 无监督学习,没有事先准备正确答案,一般用于聚类(cluster)问题,即给定一批数据,根据这批数据的特点,将其分为多个类别,虽然我并不知道这每个类别所代表的具体含义。
    • 这一点特别有趣,可以从大数据中发现人直觉难以察觉的信息,当中可能蕴含极大价值。
    • 比如网络商城的商品推荐算法可能会根据用户的使用习惯,以往的浏览历史等,将用户分为多个类别,同一类别的用户在行为模式上可能比较相似。而事先并不知道最终会划分出多少个类别,每个类别有哪些共同特点。

一种重要的模型——神经网络

线性方程组

简单解释

上图中网络层1与网络层2的节点,称作神经元,a与b的连接,有笛卡尓积(直积)的条数,即〈x,y〉(x∈a,y∈b)的a×b的交集。它们的连接的数学关系,如下

a1*w11 + a2*w12 + a3*w13 + bias1 = b1
a1*w21 + a2*w22 + a3*w23 + bias2 = b2

这是一个线性方程组

  • a, b 神经元,从数学上看,是一个值
  • w 权重
  • bias 偏移量

写成矩阵的形式:

对于网络层2中的神经元b,它的值在传给输出之前, 会先经过一次非线性运算g,这个g称为激活函数

g(b1)=Y1  
g(b2)=Y2

ps: 方程求导后是常数的是线性方程,否则是非线性方程

非线性的激活函数

实际运用当中,有多种激活函数可以选择,这里我们介绍最经典的一种激活函数: sigmoid 激活函数,它的数学形式为:

sigmoid 函数图像是

即输入值x越大,函数值越接近 1,输入值越小,函数值越接近 0,当输入为 0 的时候,函数值为 0.5。

上面是一个激活函数的例子,为什么使用非线性的激活函数呢?原因有几个:

多层网络的意义
  • 深度神经网络是多层神经网络,如果没有非线性运算部分,由于 矩阵乘法的结合性,我们简算方程式后,多个线性运算层最终会简化成一个线性运算,多层次的网络结构失去了意义。
非线性分类更贴近实际

实际上,不同类别之间的分界线更多是曲线而不是直线,此时无论如何也无法用线性分类器去准确的进行分类。而非线性部分的引入,在一定程度上可以使原本的直线变成曲线。

当输入数据的维度为 3 时,单纯的线性运算就相当于是使用一个平面对空间进行划分,当数据维度高于 3 维时类似,只是我们已经无法直观的观察大于 3 维的空间了。

概率

非线性激活函数还有其他作用,比如sigmoid将输出值的范围限制在 0 到 1 之间,使其刚好可以被作为概率来看待。

评价神经网络的效果

如何设定神经网络中的网络参数值(包括连接线上的权重w和偏置值bias)。

  • 一种最简单的方法是随机设定网络参数。如果神经网络中的网络参数是随机设置的,那么我们得到的 “网络性能” 应该就是随机情况下的平均值。比如我们要判断一些图片中的字母属于 26 个字母中的哪一个,如果网络参数值是随机设定的话,那我们得到的识别准确率理论上应该在 1/26 左右。随机设定参数值当然不可能是我们解决问题的办法。
  • 如何设置 “好” 的网络参数值来使神经网络正确的工作,这是 网络性能 的问题。我们如何判定一个神经网络是 “好” 的还是 “不好” 的呢,即我们用什么来评价一个神经网络的效果呢?

损失函数

有监督学习中,学习数据 data 包含输入数据的预期正确输出值,一个简单的办法是比较神经网络的输出 h 与预期的正确输出 y 之间的差异。比如计算(h-y)^2, 当得到的值比较大时,就说明我们的神经网络的输出与预期的正确输出偏差较大,反之,如果得到的值很小甚至等于 0,就说明我们的模型工作的不错,能够正确的预测输出值。

二次损失函数 quadratic loss

就像它的名字所暗示的那样,quadratic loss function 通过计算h和y之间差值的二次方,来表达一个神经网络的效果。具体形式如下:

  • 学习算法learn按照某种策略,通过不断的更新参数值来使损失函数 J(theta,X,Y) 的值减小,theta 是自变量。
  • 上面公式J(theta,X,Y), 从训练算法的角度看,我们要训练的算法是 J(theta),因为对于一个特定的问题来讲,输入 X 与输出 Y 可以视作常量。

梯度下降算法

衡量神经网络性能的办法:损失函数,训练算法是,就必须想办法让损失函数的值尽量小,最好是让损失函数值为0。

假设我们的损失函数图形是这样的:

我们的目标是使A尽量靠近最低点B, 最好是与B重合,这样才能最小化损失函数。

梯度

梯度是一个向量,由损失函数对每个自变量(图中的 theta0 和 theta1)分别求偏导得到。

形象的理解,梯度指向损失函数变化最快的那个方向(且该方向让函数值变大),在图中的三维上,就是曲面上在 A 点最 “陡峭” 的方向。在二维上,是斜率方向。

梯度下降算法

  • 上图中,梯度的方向使损失函数的值变大,于是为了使 A 点向 B 点移动,就可以对 A 的值减去该点的梯度(alpha * 斜率)。
  • 上面公式有一个希腊字母alpha,梯度表示更新参数 theta 的方向,而这个 alpha 表示往这个方向走多远。
  • 当走到下一个位置之后,再求该点的梯度,用梯度更新参数位置,如此重复,直到逼近 B 点。这就是梯度下降算法的原理。
  • alpha 在这里是一个 超参数(hyperparameter)

ps: 实际中,损失函数并不像图中的凸函数那么理想,梯度下降算法可能无法到达最低点,或者被“局部最低点”(梯度为0)欺骗而无法到达“全局最低点”。需要采取一些方法,暂不提。

参数 (parameter) 与超参数(hyper parameter)

模型 model 中的参数 theta 称为参数,而学习算法(即梯度下降算法)里的参数 alhpa 被称为超参数。它们区别在于:

  • theta 被称为 “参数”,它决定了模型 model 的性质,最终值是由学习算法 learn 学习得到,不需要手工设定。
  • alhpa 是学习算法 learn 中决定梯度下降算法每一步走多远的参数,它需要手工设定,决定了得到最优theta的过程。即超参数决定如何得到最优参数。

ps: 复杂问题的模型中可能有上亿个参数,这都由学习算法得到,而我们只需手动设置超参数。

超参数 alpha– 学习速率

机器学习中,我们将上面提到的超参数alpha称为学习速率(learning rate)。这很好理解,因为alpha越大时,我们的参数theta更新的幅度越大,我们可能会更快的到达最低点。但是alpha不能设置的太大,否则有可能一次变化的太大导致 “步子太长”,会直接越过最低点,甚至导致损失函数值不降反升。

思考题

  • “手工编程计算圆的面积”中,3.14 是 “参数” 还是“超参数”?

答:参数

  • 一个如本次实验所描述的神经网络有两层,第一层有 10 个神经元,第二层有 20 个神经元,请问这两层神经元之间有多少条连接?第一层到第二层之间由这些连接所表示的线性变换矩阵尺寸是多少?

答:笛卡尓积,10*20=200 条连接。这些连接表示的矩阵,尺寸是:10列×20行

  • “使用深度学习预测股票走势曲线” 是分类问题还是回归问题?

答:回归

  • “根据人脸图片识别人的性别” 是分类问题还是回归问题?

答:分类

  • 如果说,有监督学习的训练数据data由输入X和正确答案Y组成,那无监督学习的训练数据应该是什么样的?

答:-

  • sigmoid 函数对 x 求导结果是什么?

答:

求导过程

  • “超参数 alpha– 学习速率” 小节中的图片里,为什么 “学习速率适中” 图中每次更新的 “步子” 越来越短,而 “学习速率过大” 图中每次更新的 “步子” 越来越长?

答:学习速率过大,导致梯度的斜率越来越 “陡峭”,越陡峭的斜率乘以过大的 alpha ,得到的 theta 偏移量越来越大。

  • 你能自己想出一种求损失函数梯度的方法吗?

答:-